Carte conceptuelle — Calcul différentiel
Vue d'ensemble des concepts fondamentaux du calcul différentiel : de la limite à la dérivée, en passant par les règles de dérivation et leurs applications.
Notation : lim(x→a) f(x) = L
Limite par la gauche vs par la droite
La limite existe si et seulement si les limites latérales sont égales.
Termes clés
- Continuité
- f est continue en a si lim(x→a) f(x) = f(a).
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h
Interprétation géométrique : pente de la tangente
Interprétation physique : vitesse instantanée
Termes clés
- Dérivabilité
- f est dérivable en a si la limite du taux d'accroissement existe.
Règle de la puissance : (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
Règle du produit : (uv)' = u'v + uv'
Règle du quotient : (u/v)' = (u'v − uv') / v²
Règle de la chaîne : (f∘g)' = f'(g(x)) · g'(x)
La règle de la chaîne est la plus utilisée en pratique — maîtrisez-la en priorité.
Recherche d'extremums (maximum, minimum)
Étude de la croissance et de la décroissance de f
Optimisation : maximiser un profit, minimiser un coût
Physique : la dérivée de la position donne la vitesse ; la dérivée de la vitesse donne l'accélération.
Termes clés
- Point critique
- x₀ où f'(x₀) = 0 ou f'(x₀) est indéfinie.